AMC8 2009

AMC8 2009 · Q19

AMC8 2009 · Q19. It mainly tests Casework, Triangles (properties).

Two angles of an isosceles triangle measure 70° and $x$°. What is the sum of the three possible values of $x$?

一个等腰三角形的两个角分别是70°和$x$°。三个可能$x$值的和是多少？

(A) 95 95

(B) 125 125

(D) 165 165

(E) 180 180

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): The two angles measuring $70^\circ$ and $x^\circ$, in an isosceles triangle, could be positioned in three ways, as shown. If $70^\circ$ and $x^\circ$ are the degree measures of the congruent angles, then $x=70$. If $x$ is the degree measure of the vertex, then $x$ is $180-70-70=40$. If $x$ is the degree measure of one of the base angles, but not $70$, then $x$ is $\frac12(180-70)=55$. The possible values of $x$ are $70$, $40$ and $55$. The sum of these values is $70+40+55=165$.

答案（D）：在等腰三角形中，两个角分别为 $70^\circ$ 和 $x^\circ$，它们可以如图所示以三种方式放置。如果 $70^\circ$ 和 $x^\circ$ 是那两个全等角的度数，那么 $x=70$。如果 $x$ 是顶角的度数，那么 $x$ 为 $180-70-70=40$。如果 $x$ 是某个底角的度数，但不是 $70$，那么 $x$ 为 $\frac12(180-70)=55$。因此 $x$ 的可能取值为 $70$、$40$ 和 $55$。这些值的和为 $70+40+55=165$。

Topics