AMC10 2025 A

AMC10 2025 A · Q21

AMC10 2025 A · Q21. It mainly tests Casework, Number theory misc.

A set of numbers is called sum-free if whenever $x$ and $y$ are (not necessarily distinct) elements of the set, $x+y$ is not an element of the set. For example, $\{1,4,6\}$ and the empty set are sum-free, but $\{1,4,5\}$ is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of $\{1,2,3,...,20\}$?

一个数集被称为无和集（sum-free），如果集合中的任意（不一定不同的）元素 $x$ 和 $y$，$x+y$ 都不在该集合中。例如，$\{1,4,6\}$ 和空集是无和集，但 $\{1,4,5\}$ 不是。在集合 $\{1,2,3,...,20\}$ 中，无和子集最多可能有多少个元素？

(A) 8 8

(B) 9 9

(D) 11 11

(E) 12 12

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Let our subset be $\{11,12,13,...,20\}.$ If we add any element from the set $\{1,2,3,...,10\}$ to our current subset, we will have to remove at least one element from our subset. Hence, the maximum size of our subset is $\boxed{\text{(C) }10}$.

令我们的子集为 $\{11,12,13,...,20\}$。如果我们向当前子集中添加来自集合 $\{1,2,3,...,10\}$ 的任何元素，都将不得不从子集中移除至少一个元素。因此，子集的最大大小是 $\boxed{\text{(C) }10}$。

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