AMC10 2007 B

AMC10 2007 B · Q17

AMC10 2007 B · Q17. It mainly tests Triangles (properties), Area & perimeter.

Point P is inside equilateral $\triangle ABC$. Points Q, R, and S are the feet of the perpendiculars from P to $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, and $\overline{CA}$, respectively. Given that $PQ = 1$, $PR = 2$, and $PS = 3$, what is $AB$?

点P在等边$\triangle ABC$内部。点Q、R、S分别是P到$\overline{AB}$、$\overline{BC}$和$\overline{CA}$的垂足。已知$PQ = 1$，$PR = 2$，$PS = 3$，求$AB$？

(A) 4 4

(B) $3\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$

(D) $4\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$

(E) 9 9

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Let the side length of $\triangle ABC$ be $s$. Then the areas of $\triangle APB$, $\triangle BPC$, and $\triangle CPA$ are, respectively, $s/2$, $s$, and $3s/2$. The area of $\triangle ABC$ is the sum of these, which is $3s$. The area of $\triangle ABC$ may also be expressed as $(\sqrt{3}/4)s^2$, so $3s=(\sqrt{3}/4)s^2$. The unique positive solution for $s$ is $4\sqrt{3}$.

答案（D）：设 $\triangle ABC$ 的边长为 $s$。则 $\triangle APB$、$\triangle BPC$ 和 $\triangle CPA$ 的面积分别为 $s/2$、$s$ 和 $3s/2$。$\triangle ABC$ 的面积为它们的和，即 $3s$。另外，$\triangle ABC$ 的面积也可表示为 $(\sqrt{3}/4)s^2$，因此 $3s=(\sqrt{3}/4)s^2$。$s$ 的唯一正解为 $4\sqrt{3}$。

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