AMC12 2025 A

AMC12 2025 A · Q18

AMC12 2025 A · Q18. It mainly tests Basic counting (rules of product/sum), Casework.

How many ordered triples $(x, y, z)$ of different positive integers less than or equal to $8$ satisfy $xy > z$, $xz > y$, and $yz > x$?

有多少个不同的正整数有序三元组 $(x, y, z)$（每个不超过 $8$）满足 $xy > z$，$xz > y$，$yz > x$？

(A) 36 36

(B) 84 84

(D) 336 336

(E) 486 486

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Let $0<x<y<z \le 8$; $x$ cannot be $1$ because it makes $xy>z$ $\rightarrow$ $y>z$; $x=2$, $y=3$, $z$ can be $4$, $5$ but not others; $x=2$, $y=4$, $z$ can be $5$, $6$, $7$; $x=2$, $y=5$, $z$ can be $6$, $7$, $8$; $x=2$, $y=6$, $z$ can be $7$, $8$; $x=2$, $y=7$, $z$ can be $8$; for $x=2$, total $11$ cases; Similarly, for $x=3$, $y=4$, $5$, $6$, $7$, total $10$ cases; for $x=4$, $y=5$, $6$, $7$, total $6$ cases; $x=5$, $y=6$, $7$, $3$ cases; $x=6$, $y=7$, $z=8$, $1$ cases; Total $= 11 + 10 + 6 + 3 + 1 = 31$. Permutate $x$, $y$, $z$ for ordered triple, it is $31 \cdot 6=186$, $\boxed{C}$.

设 $0<x<y<z \le 8$； $x$ 不能为 $1$，因为 $xy>z$ 推出 $y>z$； $x=2$，$y=3$，$z$ 可为 $4，5$； $x=2$，$y=4$，$z$ 可为 $5，6，7$； $x=2$，$y=5$，$z$ 可为 $6，7，8$； $x=2$，$y=6$，$z$ 可为 $7，8$； $x=2$，$y=7$，$z=8$； $x=2$ 时共 $11$ 种；类似地，$x=3$，$y=4，5，6，7$，共 $10$ 种；$x=4$，$y=5，6，7$，共 $6$ 种；$x=5$，$y=6，7$，$3$ 种；$x=6$，$y=7$，$z=8$，$1$ 种；总计 $= 11 + 10 + 6 + 3 + 1 = 31$。对有序三元组排列 $x，y，z$，得 $31 \cdot 6=186$，$\boxed{C}$。

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