AMC12 2004 B

AMC12 2004 B · Q2

AMC12 2004 B · Q2. It mainly tests Casework.

In the expression $c\cdot a^b-d$, the values of $a$, $b$, $c$, and $d$ are $0$, $1$, $2$, and $3$, although not necessarily in that order. What is the maximum possible value of the result?

在表达式 $c\cdot a^b-d$ 中，$a$、$b$、$c$ 和 $d$ 的值为 $0$、$1$、$2$ 和 $3$，但不一定按这个顺序。结果的最大可能值是多少？

(A) 5 5

(B) 6 6

(D) 9 9

(E) 10 10

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

If $a=0$ or $c=0$, the expression evaluates to $-d<0$. If $b=0$, the expression evaluates to $c-d\leq 2$. Case $d=0$ remains. In that case, we want to maximize $c\cdot a^b$ where $\{a,b,c\}=\{1,2,3\}$. Trying out the six possibilities we get that the greatest is $(a,b,c)=(3,2,1)$, where $c\cdot a^b=1\cdot 3^2=\boxed{\mathrm{(D)}\ 9}$.

如果 $a=0$ 或 $c=0$，则表达式的值为 $-d<0$。如果 $b=0$，则表达式的值为 $c-d\leq 2$。剩下的情况是 $d=0$。在这种情况下，我们要最大化 $c\cdot a^b$，其中 $\{a,b,c\}=\{1,2,3\}$。尝试这六种可能，最大的是 $(a,b,c)=(3,2,1)$，此时 $c\cdot a^b=1\cdot 3^2=\boxed{\mathrm{(D)}\ 9}$。

Topics

CP.010 Casework