AMC10 2001 A

AMC10 2001 A · Q13

AMC10 2001 A · Q13. It mainly tests Basic counting (rules of product/sum), Casework.

A telephone number has the form ABC −DEF −GHIJ, where each letter represents a different digit. The digits in each part of the number are in decreasing order; that is, A > B > C, D > E > F, and G > H > I > J. Furthermore, D, E, and F are consecutive even digits; G, H, I, and J are consecutive odd digits; and A + B + C = 9. Find A.

一个电话号码的形式是 ABC −DEF −GHIJ，其中每个字母代表不同的数字。号码每个部分的数字是递减的，即 A > B > C, D > E > F, 和 G > H > I > J。此外，D, E, 和 F 是连续的偶数数字；G, H, I, 和 J 是连续的奇数数字；并且 A + B + C = 9。求 A。

(A) 4 4

(B) 5 5

(D) 7 7

(E) 8 8

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

(E) The last four digits (GHIJ) are either 9753 or 7531, and the remaining odd digit (either 1 or 9) is A, B, or C. Since $A + B + C = 9$, the odd digit among A, B, and C must be 1. Thus the sum of the two even digits in ABC is 8. The three digits in DEF are 864, 642, or 420, leaving the pairs 2 and 0, 8 and 0, or 8 and 6, respectively, as the two even digits in ABC. Of those, only the pair 8 and 0 has sum 8, so ABC is 810, and the required first digit is 8. The only such telephone number is 810-642-9753.

（E）最后四位数字（GHIJ）要么是 9753，要么是 7531，而剩下的奇数字（1 或 9）在 A、B、C 之中。由于 $A + B + C = 9$，因此 A、B、C 中的奇数字必须是 1。于是 ABC 中两个偶数字之和为 8。DEF 的三位数可能是 864、642 或 420，因此对应地，ABC 中两个偶数字分别是（2 和 0）、（8 和 0）或（8 和 6）。其中只有（8 和 0）的和为 8，所以 ABC 为 810，所求的首位数字是 8。唯一符合条件的电话号码是 810-642-9753。

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