AMC8 2000

AMC8 2000 · Q14

AMC8 2000 · Q14. It mainly tests Digit properties (sum of digits, divisibility tests), Powers & residues.

What is the units digit of $19^{19} + 99^{99}$?

$19^{19} + 99^{99}$ 的个位数是多少？

(A) 0 0

(B) 1 1

(D) 8 8

(E) 9 9

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): The units digit of a power of an integer is determined by the units digit of the integer; that is, the tens digit, hundreds digit, etc... of the integer have no effect on the units digit of the result. In this problem, the units digit of $19^{19}$ is the units digit of $9^{19}$. Note that $9^{1}=9$ ends in $9$, $9^{2}=81$ ends in $1$, $9^{3}=729$ ends in $9$, and, in general, the units digit of odd powers of $9$ is $9$, whereas the units digit of even powers of $9$ is $1$. Since both exponents are odd, the sum of their units digits is $9+9=18$, the units digit of which is $8$.

答案（D）：一个整数的幂的个位数由该整数的个位数决定；也就是说，这个整数的十位、百位等对结果的个位数没有影响。在本题中，$19^{19}$ 的个位数等同于 $9^{19}$ 的个位数。注意 $9^{1}=9$ 的个位是 $9$，$9^{2}=81$ 的个位是 $1$，$9^{3}=729$ 的个位是 $9$。一般而言，$9$ 的奇数次幂的个位是 $9$，而 $9$ 的偶数次幂的个位是 $1$。由于两个指数都是奇数，它们个位数之和为 $9+9=18$，其个位数为 $8$。

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