AMC8 2000

AMC8 2000 · Q13

AMC8 2000 · Q13. It mainly tests Angle chasing, Triangles (properties).

In triangle CAT, we have $\angle ACT = \angle ATC$ and $\angle CAT = 36^\circ$. If $\overline{TR}$ bisects $\angle ATC$, then $\angle CRT =$

在三角形 CAT 中，$\\angle ACT = \\angle ATC$ 且 $\\angle CAT = 36^\circ$。如果 $\\overline{TR}$ 平分 $\\angle ATC$，则 $\\angle CRT =$

(A) 16° 16°

(B) 51° 51°

(D) 90° 90°

(E) 108° 108°

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Answer (C): Since $\angle ACT=\angle ATC$ and $\angle CAT=36^\circ$, we have $2(\angle ATC)=180^\circ-36^\circ=144^\circ$ and $\angle ATC=\angle ACT=72^\circ$. Because $TR$ bisects $\angle ATC$, $\angle CTR=\frac12(72^\circ)=36^\circ$. In triangle $CRT$, $\angle CRT=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ$. Note that some texts use $\angle ACT$ to define the angle and $m\angle ACT$ to indicate its measure.

答案（C）：由于 $\angle ACT=\angle ATC$ 且 $\angle CAT=36^\circ$，所以 $2(\angle ATC)=180^\circ-36^\circ=144^\circ$，并且 $\angle ATC=\angle ACT=72^\circ$。因为 $TR$ 平分 $\angle ATC$，所以 $\angle CTR=\frac12(72^\circ)=36^\circ$。在三角形 $CRT$ 中，$\angle CRT=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ$。注意：有些教材用 $\angle ACT$ 表示角本身，用 $m\angle ACT$ 表示该角的度数。

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