AMC10 2001 A

AMC10 2001 A · Q24

AMC10 2001 A · Q24. It mainly tests Triangles (properties), Pythagorean theorem.

In trapezoid $ABCD$, $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are perpendicular to $\overline{AD}$, with $AB + CD = BC$, $AB < CD$, and $AD = 7$. What is $AB \cdot CD$?

在梯形 $ABCD$ 中， $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 都垂直于 $\overline{AD}$，有 $AB + CD = BC$，$AB < CD$，且 $AD = 7$。求 $AB \cdot CD$。

(A) 12 12

(B) 12.25 12.25

(D) 12.75 12.75

(E) 13 13

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

(B) Let $E$ be the foot of the perpendicular from $B$ to $CD$. Then $AB=DE$ and $BE=AD=7$. By the Pythagorean Theorem, $$ \begin{aligned} AD^2&=BE^2=BC^2-CE^2\\ &=(CD+AB)^2-(CD-AB)^2\\ &=(CD+AB+CD-AB)(CD+AB-CD+AB)\\ &=4\cdot CD\cdot AB. \end{aligned} $$ Hence, $AB\cdot CD=AD^2/4=7^2/4=49/4=12.25$.

（B）设 $E$ 为从 $B$ 到 $CD$ 的垂足。则 $AB=DE$ 且 $BE=AD=7$。由勾股定理， $$ \begin{aligned} AD^2&=BE^2=BC^2-CE^2\\ &=(CD+AB)^2-(CD-AB)^2\\ &=(CD+AB+CD-AB)(CD+AB-CD+AB)\\ &=4\cdot CD\cdot AB. \end{aligned} $$ 因此，$AB\cdot CD=AD^2/4=7^2/4=49/4=12.25$。

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