AMC12 2018 A

AMC12 2018 A · Q18

AMC12 2018 A · Q18. It mainly tests Angle chasing, Triangles (properties).

Triangle $ABC$ with $AB = 50$ and $AC = 10$ has area 120. Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB}$, and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}$. The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G$, respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG$?

三角形 $ABC$ 有 $AB = 50$ 和 $AC = 10$，面积为 120。$D$ 为 $\overline{AB}$ 中点，$E$ 为 $\overline{AC}$ 中点。$\angle BAC$ 的角平分线分别与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 相交于 $F$ 和 $G$。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

(A) 60 60

(B) 65 65

(D) 75 75

(E) 80 80

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Because $AB$ is $\frac{5}{6}$ of $AB+AC$, it follows from the Angle Bisector Theorem that $DF$ is $\frac{5}{6}$ of $DE$, and $BG$ is $\frac{5}{6}$ of $BC$. Because trapezoids $FDBG$ and $EDBC$ have the same height, the area of $FDBG$ is $\frac{5}{6}$ of the area of $EDBC$. Furthermore, the area of $\triangle ADE$ is $\frac{1}{4}$ of the area of $\triangle ABC$, so its area is $30$, and the area of trapezoid $EDBC$ is $120-30=90$. Therefore the area of quadrilateral $FDBG$ is $\frac{5}{6}\cdot 90=75$.

答案（D）：因为 $AB$ 是 $AB+AC$ 的 $\frac{5}{6}$，由角平分线定理可知 $DF$ 是 $DE$ 的 $\frac{5}{6}$，且 $BG$ 是 $BC$ 的 $\frac{5}{6}$。因为梯形 $FDBG$ 与 $EDBC$ 具有相同的高，$FDBG$ 的面积是 $EDBC$ 面积的 $\frac{5}{6}$。另外，$\triangle ADE$ 的面积是 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{1}{4}$，所以其面积为 $30$，而梯形 $EDBC$ 的面积为 $120-30=90$。因此四边形 $FDBG$ 的面积为 $\frac{5}{6}\cdot 90=75$。

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