AMC12 2017 A

AMC12 2017 A · Q18

AMC12 2017 A · Q18. It mainly tests Digit properties (sum of digits, divisibility tests), Inequalities with integers (floor/ceiling basics).

Let $S(n)$ equal the sum of the digits of positive integer $n$. For example, $S(1507) = 13$. For a particular positive integer $n$, $S(n) = 1274$. Which of the following could be the value of $S(n + 1)$?

设 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数字之和。例如，$S(1507) = 13$。对于某个正整数 $n$，有 $S(n) = 1274$。下面哪项可能是 $S(n + 1)$ 的值？

(A) 1 1

(B) 3 3

(D) 1239 1239

(E) 1265 1265

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Note that $S(n+1)=S(n)+1$ unless the numeral for $n$ ends with a 9. Moreover, if the numeral for $n$ ends with exactly $k$ 9s, then $S(n+1)=S(n)+1-9k$. Thus the possible values of $S(n+1)$ when $S(n)=1274$ are all of the form $1275-9k$, where $k\in\{0,1,2,3,\ldots,141\}$. Of the choices, only 1239 can be formed in this manner, and $S(n+1)$ will equal 1239 if, for example, $n$ consists of 4 consecutive 9s preceded by 1238 1s.

答案（D）：注意，除非 $n$ 的十进制表示以 9 结尾，否则 $S(n+1)=S(n)+1$。此外，如果 $n$ 的十进制表示恰好以 $k$ 个 9 结尾，则 $S(n+1)=S(n)+1-9k$。因此，当 $S(n)=1274$ 时，$S(n+1)$ 的可能取值都形如 $1275-9k$，其中 $k\in\{0,1,2,3,\ldots,141\}$。在给出的选项中，只有 1239 能以这种方式得到；例如，当 $n$ 由 1238 个 1 后面接着 4 个连续的 9 组成时，$S(n+1)$ 就等于 1239。

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