AMC12 2000 A

AMC12 2000 A · Q12

AMC12 2000 A · Q12. It mainly tests Arithmetic misc, Casework.

Let $A, M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 12$. What is the maximum value of $A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + A \cdot C$?

设 $A, M,$ 和 $C$ 为非负整数，且 $A + M + C = 12$。$A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + A \cdot C$ 的最大值是多少？

(A) 62 62

(B) 72 72

(D) 102 102

(E) 112 112

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

It is not hard to see that \[(A+1)(M+1)(C+1)=\] \[AMC+AM+AC+MC+A+M+C+1\] Since $A+M+C=12$, we can rewrite this as \[(A+1)(M+1)(C+1)=\] \[AMC+AM+AC+MC+13\] So we wish to maximize \[(A+1)(M+1)(C+1)-13\] Which is largest when all the factors are equal (consequence of AM-GM). Since $A+M+C=12$, we set $A=M=C=4$ Which gives us \[(4+1)(4+1)(4+1)-13=112\] so the answer is $\boxed{\textbf{(E) }112}.$

不难看出 \[(A+1)(M+1)(C+1)=\] \[AMC+AM+AC+MC+A+M+C+1\] 由于 $A+M+C=12$，可将其改写为 \[(A+1)(M+1)(C+1)=\] \[AMC+AM+AC+MC+13\] 因此我们希望最大化 \[(A+1)(M+1)(C+1)-13\] 当所有因子相等时（由 AM-GM 的推论），该值最大。由于 $A+M+C=12$，令 $A=M=C=4$ 得到 \[(4+1)(4+1)(4+1)-13=112\] 所以答案是 $\boxed{\textbf{(E) }112}.$

Topics