AMC10 2017 A

AMC10 2017 A · Q20

AMC10 2017 A · Q20. It mainly tests Fractions, Digit properties (sum of digits, divisibility tests).

Let $S(n)$ equal the sum of the digits of positive integer n. For example, $S(1507) = 13$. For a particular positive integer n, $S(n) = 1274$. Which of the following could be the value of $S(n + 1)$?

令$S(n)$为正整数n的各位数字之和。例如，$S(1507) = 13$。对于某个正整数n，有$S(n) = 1274$。下列哪个可能是$S(n + 1)$的值？

(A) 1 1

(B) 3 3

(D) 1239 1239

(E) 1265 1265

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Note that $S(n+1)=S(n)+1$ unless the numeral for $n$ ends with a 9. Moreover, if the numeral for $n$ ends with exactly $k$ 9s, then $S(n+1)=S(n)+1-9k$. Thus the possible values of $S(n+1)$ when $S(n)=1274$ are all of the form $1275-9k$, where $k\in\{0,1,2,3,\ldots,141\}$. Of the choices, only 1239 can be formed in this manner, and $S(n+1)$ will equal 1239 if, for example, $n$ consists of 4 consecutive 9s preceded by 1238 1s. The value of a positive integer is congruent to the sum of its digits modulo 9. Therefore $n\equiv S(n)=1274\equiv 5\pmod 9$, so $S(n+1)\equiv n+1\equiv 6\pmod 9$. Of the given choices, only 1239 meets this requirement. Finally, there are $2\cdot 2\cdot 2!=8$ elements of $X\cap Y\cap Z$. Therefore $|X\cup Y\cup Z|=(48+48+48)-(12+24+24)+8=92$, and the answer is $120-92=28$.

（D）答：注意，除非 $n$ 的十进制表示以 9 结尾，否则 $S(n+1)=S(n)+1$。此外，如果 $n$ 的十进制表示恰好以 $k$ 个 9 结尾，那么 $S(n+1)=S(n)+1-9k$。因此当 $S(n)=1274$ 时，$S(n+1)$ 的可能取值都形如 $1275-9k$，其中 $k\in\{0,1,2,3,\ldots,141\}$。在给出的选项中，只有 1239 能以这种方式得到；例如，当 $n$ 由 1238 个 1 后接 4 个连续的 9 组成时，$S(n+1)$ 就等于 1239。一个正整数与其各位数字之和在模 9 意义下同余。因此 $n\equiv S(n)=1274\equiv 5\pmod 9$，所以 $S(n+1)\equiv n+1\equiv 6\pmod 9$。在给定选项中，只有 1239 满足这一条件。最后，$X\cap Y\cap Z$ 中有 $2\cdot 2\cdot 2!=8$ 个元素。因此 $|X\cup Y\cup Z|=(48+48+48)-(12+24+24)+8=92$，答案为 $120-92=28$。

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