AMC10 2016 A

AMC10 2016 A · Q6

AMC10 2016 A · Q6. It mainly tests Digit properties (sum of digits, divisibility tests), Base representation.

Ximena lists the whole numbers 1 through 30 once. Emilio copies Ximena’s numbers, replacing each occurrence of the digit 2 by the digit 1. Ximena adds her numbers and Emilio adds his numbers. How much larger is Ximena’s sum than Emilio’s?

Ximena 把从 1 到 30 的所有整数各写一次。Emilio 抄写 Ximena 的这些数，并把每一次出现的数字 2 都替换成数字 1。Ximena 计算她这些数的总和，Emilio 计算他这些数的总和。Ximena 的总和比 Emilio 的总和大多少？

(A) 13 13

(B) 26 26

(D) 103 103

(E) 110 110

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Each time Emilio replaces a 2 in the ones position by 1, Ximena’s sum is decreased by 1. When Emilio replaces a 2 in the tens position by 1, Ximena’s sum is decreased by 10. Ximena wrote 3 twos in the ones position (2, 12, 22) and 10 twos in the tens position (20, 21, 22, $\ldots$, 29). Thus Ximena’s sum is greater than Emilio’s sum by $3 \cdot 1 + 10 \cdot 10 = 103$.

答案（D）：每当埃米利奥把个位上的一个 2 替换成 1，希梅娜的总和就减少 1。每当埃米利奥把十位上的一个 2 替换成 1，希梅娜的总和就减少 10。希梅娜在个位上写了 3 个 2（2，12，22），在十位上写了 10 个 2（20，21，22，$\ldots$，29）。因此，希梅娜的总和比埃米利奥的总和大 $3 \cdot 1 + 10 \cdot 10 = 103$。

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