AMC10 2014 B

AMC10 2014 B · Q14

AMC10 2014 B · Q14. It mainly tests Money / coins, GCD & LCM.

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging 55 miles per hour. At the beginning of the trip, abc miles was displayed on the odometer, where abc is a 3-digit number with a ≥1 and a + b + c ≤7. At the end of the trip, the odometer showed cba miles. What is a² + b² + c²?

Danica 开着她的新车旅行了整数组小时，以平均 55 英里/小时的速度。在旅行开始时，里程表显示 abc 英里，其中 abc 是一个三位数，a ≥1 且 a + b + c ≤7。在旅行结束时，里程表显示 cba 英里。a² + b² + c² 是多少？

(A) 26 26

(B) 27 27

(D) 37 37

(E) 41 41

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Let m be the total mileage of the trip. Then m must be a multiple of 55. Also, because m = cba − abc = 99(c − a), it is a multiple of 9. Therefore m is a multiple of 495. Because m is at most a 3-digit number and a is not equal to 0, m = 495. Therefore c − a = 5. Because a + b + c ≤7, the only possible abc is 106, so a² + b² + c² = 1 + 0 + 36 = 37.

设 m 是旅行的总里程数。那么 m 必须是 55 的倍数。而且因为 m = cba − abc = 99(c − a)，它是 9 的倍数。因此 m 是 495 的倍数。因为 m 最多是三位数且 a ≠ 0，所以 m = 495。因此 c − a = 5。因为 a + b + c ≤7，唯一的可能 abc 是 106，所以 a² + b² + c² = 1 + 0 + 36 = 37。

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