AMC10 2008 B

AMC10 2008 B · Q15

AMC10 2008 B · Q15. It mainly tests Pythagorean theorem, Perfect squares & cubes.

How many right triangles have integer leg lengths $a$ and $b$ and a hypotenuse of length $b + 1$, where $b < 100$?

有整数直角边长 $a$ 和 $b$，斜边长为 $b + 1$ 的直角三角形有多少个，其中 $b < 100$？

(A) 6 6

(B) 7 7

(D) 9 9

(E) 10 10

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

Answer (A): By the Pythagorean Theorem we have $a^2+b^2=(b+1)^2$, so $a^2=(b+1)^2-b^2=2b+1$. Because $b$ is an integer with $b<100$, $a^2$ is an odd perfect square between 1 and 201, and there are six of these, namely, 9, 25, 49, 81, 121, and 169. Hence $a$ must be 3, 5, 7, 9, 11, or 13, and there are 6 triangles that satisfy the given conditions.

答案（A）：由勾股定理可得 $a^2+b^2=(b+1)^2$，因此 $a^2=(b+1)^2-b^2=2b+1$。由于 $b$ 是满足 $b<100$ 的整数，$a^2$ 是 1 到 201 之间的奇完全平方数，这样的数共有 6 个，分别是 9、25、49、81、121 和 169。因此 $a$ 必须是 3、5、7、9、11 或 13，并且满足所给条件的三角形共有 6 个。

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