AMC8 2018

AMC8 2018 · Q20

AMC8 2018 · Q20. It mainly tests Similarity, Area & perimeter.

In $\triangle ABC$, point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE = 1$ and $EB = 2$. Point $D$ is on $\overline{AC}$ so that $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ and point $F$ is on $\overline{BC}$ so that $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$. What is the ratio of the area of $\triangle CDEF$ to the area of $\triangle ABC$?

在 $\triangle ABC$ 中，点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，$AE = 1$，$EB = 2$。点 $D$ 在 $\overline{AC}$ 上，使得 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$，点 $F$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$。$ riangle CDEF$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

(A) $\frac{4}{9}$ $\frac{4}{9}$

(B) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$

(E) $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

Answer (A): Triangles $AED$, $EBF$, and $ABC$ are similar with their sides in the ratio of $1:2:3$. Therefore their areas are in the ratio of $1:4:9$. The combined areas of $\triangle AED$ and $\triangle EBF$ constitute $\frac{5}{9}$ of the area of $\triangle ABC$, so the area of $CDEF$ is $\frac{4}{9}$ of the area of $\triangle ABC$.

答案（A）：三角形 $AED$、$EBF$ 和 $ABC$ 相似，它们的边长比为 $1:2:3$，因此面积比为 $1:4:9$。$\triangle AED$ 与 $\triangle EBF$ 的面积之和占 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{5}{9}$，所以 $CDEF$ 的面积占 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{4}{9}$。

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