AMC8 2015

AMC8 2015 · Q19

AMC8 2015 · Q19. It mainly tests Area & perimeter, Coordinate geometry.

A triangle with vertices at A = (1, 3), B = (5, 1), and C = (4, 4) is plotted on a 6 × 5 grid. What fraction of the grid is covered by the triangle?

一个顶点在 A = (1, 3)、B = (5, 1) 和 C = (4, 4) 的三角形绘制在6×5网格上。三角形覆盖网格的几分之几？

(A) $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$

(B) $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$

(D) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

(E) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

Answer (A): The triangle is inscribed in a $4\times3$ rectangle with vertices at $(1,1)$, $(1,4)$, $(5,4)$, and $(5,1)$. Three triangular regions are inside the $4\times3$ rectangle but outside $\triangle ABC$. The area of the lower-left triangle is $\frac{1}{2}\cdot4\cdot2=4$ square units. The area of the upper-left triangle is $\frac{1}{2}\cdot1\cdot3=\frac{3}{2}$ square units. The area of the third triangle is also $\frac{1}{2}\cdot1\cdot3=\frac{3}{2}$ square units. So the area of $\triangle ABC$ is $12-4-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=5$ square units. The area of the $6\times5$ grid is $30$ square units. Thus, the fraction covered by the triangle is $\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$.

答案（A）：该三角形内接在一个 $4\times3$ 的矩形中，矩形的顶点为 $(1,1)$、$(1,4)$、$(5,4)$ 和 $(5,1)$。在这个 $4\times3$ 矩形内但在 $\triangle ABC$ 外有三个三角形区域。左下角三角形的面积为 $\frac{1}{2}\cdot4\cdot2=4$ 平方单位。左上角三角形的面积为 $\frac{1}{2}\cdot1\cdot3=\frac{3}{2}$ 平方单位。第三个三角形的面积同样为 $\frac{1}{2}\cdot1\cdot3=\frac{3}{2}$ 平方单位。因此 $\triangle ABC$ 的面积是 $12-4-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=5$ 平方单位。$6\times5$ 网格的面积为 $30$ 平方单位，所以三角形覆盖的比例为 $\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$。

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