AMC8 1996

AMC8 1996 · Q17

AMC8 1996 · Q17. It mainly tests Area & perimeter, Coordinate geometry.

Figure $OPQR$ is a square. Point $O$ is the origin, and point $Q$ has coordinates $(2, 2)$. What are the coordinates for $T$ so that the area of triangle $PQT$ equals the area of square $OPQR$?

图 $OPQR$ 是一个正方形。点 $O$ 是原点，点 $Q$ 的坐标为 $(2, 2)$。求点 $T$ 的坐标，使得三角形 $PQT$ 的面积等于正方形 $OPQR$ 的面积。

(A) (-6, 0) (-6, 0)

(B) (-4, 0) (-4, 0)

(D) (2, 0) (2, 0)

(E) (4, 0) (4, 0)

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Answer (C): Since $OPQR$ is a square and point $Q$ has coordinates $(2,2)$, it follows that point $P$ has coordinates $(2,0)$ and point $R$ has coordinates $(0,2)$. Thus the side of square $OPQR$ is $2$ and the area of the $2$ by $2$ square $OPQR$ is $2^2 = 4$. The area of triangle $PQT$ is $\frac{1}{2}\cdot PT \cdot PQ = \frac{1}{2}\cdot PT \cdot 2 = PT$. Since the area of the triangle equals the area of the square, $PT = 4$. Thus the point $T$ has coordinates $(-2,0)$.

答案（C）：由于 $OPQR$ 是一个正方形，且点 $Q$ 的坐标为 $(2,2)$，可知点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，点 $R$ 的坐标为 $(0,2)$。因此，正方形 $OPQR$ 的边长为 $2$，这个 $2\times 2$ 的正方形 $OPQR$ 的面积为 $2^2 = 4$。三角形 $PQT$ 的面积为 $\frac{1}{2}\cdot PT \cdot PQ = \frac{1}{2}\cdot PT \cdot 2 = PT$。由于三角形的面积等于正方形的面积，所以 $PT = 4$。因此点 $T$ 的坐标为 $(-2,0)$。

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