AMC12 2025 A

AMC12 2025 A · Q15

AMC12 2025 A · Q15. It mainly tests Counting & probability misc, Invariants.

A set of numbers is called sum-free if whenever $x$ and $y$ are (not necessarily distinct) elements of the set, $x+y$ is not an element of the set. For example, $\{1,4,6\}$ and the empty set are sum-free, but $\{1,4,5\}$ is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of $\{1,2,3,...,20\}$?

若一个数集称为和自由集，即当 $x$ 和 $y$（不一定不同）为该集合的元素时，$x+y$ 不在该集合中。例如，$\{1,4,6\}$ 和空集是和自由集，但 $\{1,4,5\}$ 不是。$\{1,2,3,...,20\}$ 的和自由子集的最大可能元素个数是多少？

(A) 8 8

(B) 9 9

(D) 11 11

(E) 12 12

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Let our subset be $\{11,12,13,...,20\}.$ If we add any element from the set $\{1,2,3,...,10\}$ to our current subset, we will have to remove at least one element from our subset. Hence, the maximum size of our subset is $\boxed{\text{(C) }10}$.

令我们的子集为 $\{11,12,13,...,20\}$。如果向当前子集添加来自 $\{1,2,3,...,10\}$ 的任何元素，我们将不得不从子集中移除至少一个元素。因此，子集的最大大小为 $\boxed{\text{(C) }10}$。

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