AMC12 2024 A

AMC12 2024 A · Q25

AMC12 2024 A · Q25. It mainly tests Functions basics, Manipulating equations.

A graph is $\textit{symmetric}$ about a line if the graph remains unchanged after reflection in that line. For how many quadruples of integers $(a,b,c,d)$, where $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ and $c$ and $d$ are not both $0$, is the graph of \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\]symmetric about the line $y=x$?

如果图像关于一条直线对称，则该图像在该直线反射后保持不变。对于整数四元组 $(a,b,c,d)$，其中 $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ 且 $c$ 和 $d$ 不全为 $0$，图像 \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\] 关于直线 $y=x$ 对称的有多少种？

(A) 1282 1282

(B) 1292 1292

(D) 1320 1320

(E) 1330 1330

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Symmetric about the line $y=x$ implies that the inverse function $y^{-1}=y$. Then we split the question into several cases to find the final answer. Case 1: $c=0$ Then $y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}$ and $y^{-1}=\frac{d}{a}x-\frac{b}{a}$. Giving us $\frac{a}{d}=\frac{d}{a}$ and $\frac{b}{d}=-\frac{b}{a}$ Therefore, we obtain 2 subcases: $b\neq 0, a+d=0$ and $b=0, a^2=d^2$ Case 2: $c\neq 0$ Then $y^{-1}=\frac{b-dx}{cx-a}=\frac{(cx-a)(-\frac{d}{c})+b-\frac{ad}{c}}{cx-a}=-\frac{d}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx-a}$ And $y=\frac{(cx+d)(\frac{a}{c})+b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}$ So $\frac{a}{c}=-\frac{d}{c}$, or $a=-d$ ($c\neq 0$), and substitute that into $\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx-a}=\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}$ gives us: $bc-ad\neq 0$ (Otherwise $y=\frac{a}{c}$, $y^{-1}=-\frac{d}{c}=\frac{a}{c}$, and is not symmetric about $y=x$) Therefore we get three cases: Case 1.1: $c= 0, b\neq 0, d\neq 0, a+d=0$ We have 10 choice of $b$, 10 choice of $d$ and each choice of $d$ has one corresponding choice of $a$. In total $10\times 10=100$ ways. Case 1.2: $c= 0, b = 0, d\neq 0, a^2=d^2$ We have 10 choice for $d$ ($d\neq 0$), each choice of $d$ has 2 corresponding choice of $a$, thus $10\times 2=20$ ways. Case 2: $c\neq 0, bc-ad\neq 0, a=-d$ $a=0$: $10\times 10=100$ ways. $a=\pm 1$: $(11\times 10-2)\times 2=216$ ways. $a=\pm 2$: $(11\times 10-6)\times 2=208$ ways. $a=\pm 3$: $(11\times 10-2)\times 2=216$ ways. $a=\pm 4$: $(11\times 10-2)\times 2=216$ ways. $a=\pm 5$: $(11\times 10-2)\times 2=216$ ways. In total $100+208+216\times 4= 1172$ ways. So the answer is $100+20+1172= \boxed{\textbf{(B) }1292}$

关于直线 $y=x$ 对称意味着逆函数 $y^{-1}=y$。然后将问题分为几类情况以求最终答案。情况 $1$：$c=0$ 则 $y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}$，$y^{-1}=\frac{d}{a}x-\frac{b}{a}$。给出 $\frac{a}{d}=\frac{d}{a}$ 和 $\frac{b}{d}=-\frac{b}{a}$ 因此，得到 $2$ 个子情况：$b\neq 0, a+d=0$ 和 $b=0, a^2=d^2$ 情况 $2$：$c\neq 0$ 则 $y^{-1}=\frac{b-dx}{cx-a}=\frac{(cx-a)(-\frac{d}{c})+b-\frac{ad}{c}}{cx-a}=-\frac{d}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx-a}$ 且 $y=\frac{(cx+d)(\frac{a}{c})+b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}$ 所以 $\frac{a}{c}=-\frac{d}{c}$，即 $a=-d$（$c\neq 0$），代入 $\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx-a}=\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}$ 给出： $bc-ad\neq 0$（否则 $y=\frac{a}{c}$，$y^{-1}=-\frac{d}{c}=\frac{a}{c}$，不关于 $y=x$ 对称）因此得到三类情况：情况 $1.1$：$c= 0, b\neq 0, d\neq 0, a+d=0$ $b$ 有 $10$ 选，$d$ 有 $10$ 选，每个 $d$ 有唯一对应 $a$。总共 $10\times 10=100$ 种。情况 $1.2$：$c= 0, b = 0, d\neq 0, a^2=d^2$ $d$ 有 $10$ 选（$d\neq 0$），每个 $d$ 有 $2$ 对应 $a$，故 $10\times 2=20$ 种。情况 $2$：$c\neq 0, bc-ad\neq 0, a=-d$ $a=0$：$10\times 10=100$ 种。 $a=\pm 1$：$(11\times 10-2)\times 2=216$ 种。 $a=\pm 2$：$(11\times 10-6)\times 2=208$ 种。 $a=\pm 3$：$(11\times 10-2)\times 2=216$ 种。 $a=\pm 4$：$(11\times 10-2)\times 2=216$ 种。 $a=\pm 5$：$(11\times 10-2)\times 2=216$ 种。总共 $100+208+216\times 4= 1172$ 种。所以答案是 $100+20+1172= \boxed{\textbf{(B) }1292}$

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