AMC12 2022 A

AMC12 2022 A · Q12

AMC12 2022 A · Q12. It mainly tests 3D geometry (volume).

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB}$ in regular tetrahedron $ABCD$. What is $\cos(\angle CMD)$?

在正四面体 $ABCD$ 中，$M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点。求 $\cos(\angle CMD)$。

(A) \frac14 \frac14

(B) \frac13 \frac13

(D) \frac12 \frac12

(E) \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Without loss of generality, let the edge-length of $ABCD$ be $2.$ It follows that $MC=MD=\sqrt3.$ Let $O$ be the center of $\triangle ABD,$ so $\overline{CO}\perp\overline{MOD}.$ Note that $MO=\frac13 MD=\frac{\sqrt{3}}{3}.$ In right $\triangle CMO,$ we have \[\cos(\angle CMD)=\frac{MO}{MC}=\boxed{\textbf{(B) } \frac13}.\]

不失一般性，令 $ABCD$ 的棱长为 $2$。则 $MC=MD=\sqrt{3}$。令 $O$ 为 $\triangle ABD$ 的中心，则 $\overline{CO}\perp\overline{MOD}$。注意 $MO=\frac{1}{3}MD=\frac{\sqrt{3}}{3}$。在直角 $\triangle CMO$ 中，有 \[\cos(\angle CMD)=\frac{MO}{MC}=\boxed{\textbf{(B) } \frac{1}{3}}\]。

Topics

GE.013 3D geometry (volume)