AMC12 2020 B

AMC12 2020 B · Q18

AMC12 2020 B · Q18. It mainly tests Area & perimeter, Coordinate geometry.

In square $ABCD$, points $E$ and $H$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{DA}$, respectively, so that $AE = AH$. Points $F$ and $G$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{CD}$, respectively, and points $I$ and $J$ lie on $\overline{EH}$ so that $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ and $\overline{GJ} \perp \overline{EH}$. See the figure below. Triangle $AEH$, quadrilateral $BFIE$, quadrilateral $DHJG$, and pentagon $FCGJI$ each has area 1. What is $FI^2$?

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和 $H$ 分别位于 $\overline{AB}$ 和 $\overline{DA}$ 上，使得 $AE = AH$。点 $F$ 和 $G$ 分别位于 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，点 $I$ 和 $J$ 位于 $\overline{EH}$ 上，使得 $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ 且 $\overline{GJ} \perp \overline{EH}$。参见下图。三角形 $AEH$、四边形 $BFIE$、四边形 $DHJG$ 和五边形 $FCGJI$ 的面积均为 1。求 $FI^2$。

(A) \frac{7}{3} \frac{7}{3}

(B) 8 - 4\sqrt{2} 8 - 4\sqrt{2}

(D) \frac{7}{4}\sqrt{2} \frac{7}{4}\sqrt{2}

(E) 2\sqrt{2} 2\sqrt{2}

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): Square $ABCD$ has area $4$, so its side length is $AB=2$. Isosceles right triangle $HAE$ has leg length $AE=\sqrt{2}$, so $EB=2-\sqrt{2}$. Extend $EH$ and $BC$ to meet at $K$. Besides the right angles, all the other angles in the diagram below are one of a single supplementary pair. Isosceles right triangle $KBE$ has area $$ \frac{1}{2}(2-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}, $$ so isosceles right triangle $FIK$ has area $4-2\sqrt{2}=\frac{1}{2}FI^2$. Hence $FI^2=8-4\sqrt{2}$.

答案（B）：正方形 $ABCD$ 的面积为 $4$，因此边长 $AB=2$。等腰直角三角形 $HAE$ 的直角边长为 $AE=\sqrt{2}$，所以 $EB=2-\sqrt{2}$。延长 $EH$ 和 $BC$ 交于 $K$。除直角外，下图中其余所有角都属于同一对互补角中的一个。等腰直角三角形 $KBE$ 的面积为 $$ \frac{1}{2}(2-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}, $$ 因此等腰直角三角形 $FIK$ 的面积为 $4-2\sqrt{2}=\frac{1}{2}FI^2$。所以 $FI^2=8-4\sqrt{2}$。

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