AMC12 2017 A

AMC12 2017 A · Q20

AMC12 2017 A · Q20. It mainly tests Logarithms (rare), Basic counting (rules of product/sum).

How many ordered pairs $(a, b)$ such that $a$ is a positive real number and $b$ is an integer between 2 and 200, inclusive, satisfy the equation $\left(\log_b a\right)^{2017} = \log_b\left(a^{2017}\right)$?

有多少个有序对 $(a, b)$ 满足 $a$ 是正实数，$b$ 是 2 到 200（包含）之间的整数，使得方程 $\left(\log_b a\right)^{2017} = \log_b\left(a^{2017}\right)$ 成立？

(A) 198 198

(B) 199 199

(D) 399 399

(E) 597 597

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Answer (E): Let $u=\log_b a$. Because $u^{2017}=2017u$, either $u=0$ or $u=\pm\sqrt[2016]{2017}$. If $u=0$, then $a=1$ and $b$ can be any integer from 2 to 200. If $u=\pm\sqrt[2016]{2017}$, then $a=b^{\pm\sqrt[2016]{2017}}$, where again $b$ can be any integer from 2 to 200. Therefore there are $3\cdot 199=597$ such ordered pairs.

答案（E）：令 $u=\log_b a$。因为 $u^{2017}=2017u$，所以要么 $u=0$，要么 $u=\pm\sqrt[2016]{2017}$。若 $u=0$，则 $a=1$，且 $b$ 可以是从 2 到 200 的任意整数。若 $u=\pm\sqrt[2016]{2017}$，则 $a=b^{\pm\sqrt[2016]{2017}}$，同样 $b$ 可以是从 2 到 200 的任意整数。因此这样的有序对共有 $3\cdot 199=597$ 个。

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