AMC12 2016 B

AMC12 2016 B · Q17

AMC12 2016 B · Q17. It mainly tests Word problems (algebra), Angle chasing.

In $\triangle ABC$ shown in the figure, $AB=7$, $BC=8$, $CA=9$, and $AH$ is an altitude. Points $D$ and $E$ lie on sides $AC$ and $AB$, respectively, so that $BD$ and $CE$ are angle bisectors, intersecting $AH$ at $Q$ and $P$, respectively. What is $PQ$?

在图示的 $\triangle ABC$ 中，$AB=7$，$BC=8$，$CA=9$，且 $AH$ 为高。点 $D$ 和 $E$ 分别位于边 $AC$ 和 $AB$ 上，使得 $BD$ 与 $CE$ 为角平分线，分别与 $AH$ 交于 $Q$ 和 $P$。求 $PQ$ 的长度。

(A) 1 1

(B) \frac{5}{8}\sqrt{3} \frac{5}{8}\sqrt{3}

(D) \frac{8}{15}\sqrt{5} \frac{8}{15}\sqrt{5}

(E) \frac{6}{5} \frac{6}{5}

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Let $x=BH$. Then $CH=8-x$ and $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2$, so $x=2$ and $AH=\sqrt{45}$. By the Angle Bisector Theorem in $\triangle ACH$, $\frac{AP}{PH}=\frac{CA}{CH}=\frac{9}{6}$, so $AP=\frac{3}{5}AH$. Similarly, by the Angle Bisector Theorem in $\triangle ABH$, $\frac{AQ}{QH}=\frac{BA}{BH}=\frac{7}{2}$, so $AQ=\frac{7}{9}AH$. Then $PQ=AQ-AP=\left(\frac{7}{9}-\frac{3}{5}\right)AH=\frac{8}{45}\sqrt{45}=\frac{8}{15}\sqrt{5}$.

答案（D）：设 $x=BH$。则 $CH=8-x$ 且 $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2$，所以 $x=2$ 且 $AH=\sqrt{45}$。在 $\triangle ACH$ 中由角平分线定理，$\frac{AP}{PH}=\frac{CA}{CH}=\frac{9}{6}$，所以 $AP=\frac{3}{5}AH$。同理，在 $\triangle ABH$ 中由角平分线定理，$\frac{AQ}{QH}=\frac{BA}{BH}=\frac{7}{2}$，所以 $AQ=\frac{7}{9}AH$。于是 $PQ=AQ-AP=\left(\frac{7}{9}-\frac{3}{5}\right)AH=\frac{8}{45}\sqrt{45}=\frac{8}{15}\sqrt{5}$。

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