AMC12 2014 B

AMC12 2014 B · Q7

AMC12 2014 B · Q7. It mainly tests Divisibility & factors, GCD & LCM.

For how many positive integers $n$ is $\frac{n}{30-n}$ also a positive integer?

有且仅有几个正整数 $n$ 使得 $\frac{n}{30-n}$ 也是正整数？

(A) 4 4

(B) 5 5

(D) 7 7

(E) 8 8

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Let $x=\frac{n}{30-n}$ so that $n=\frac{30x}{x+1}$. Because $x$ and $x+1$ are relatively prime, it follows that $x+1$ must be a factor of 30. Because $n$ is positive and less than 30 it follows that $x+1\ge 2$. Thus $x+1$ equals 2, 3, 5, 6, 10, 15, or 30. Hence there are 7 possible values for $n$, namely 15, 20, 24, 25, 27, 28, and 29.

答案（D）：令 $x=\frac{n}{30-n}$，则 $n=\frac{30x}{x+1}$。因为 $x$ 与 $x+1$ 互素，所以 $x+1$ 必须是 30 的因子。又因为 $n$ 为正且小于 30，所以有 $x+1\ge 2$。因此 $x+1$ 等于 2、3、5、6、10、15 或 30。故 $n$ 有 7 个可能值，分别为 15、20、24、25、27、28 和 29。

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