AMC12 2014 B

AMC12 2014 B · Q10

AMC12 2014 B · Q10. It mainly tests Rates (speed), Divisibility & factors.

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging 55 miles per hour. At the beginning of the trip, $abc$ miles was displayed on the odometer, where $abc$ is a 3-digit number with $a \ge 1$ and $a + b + c \le 7$. At the end of the trip, the odometer showed $cba$ miles. What is $a^2 + b^2 + c^2$?

Danica 开着新车旅行了整数组小时，以平均 55 英里/小时的速度。旅行开始时，里程表显示 $abc$ 英里，其中 $abc$ 是三位数，$a \ge 1$ 且 $a + b + c \le 7$。旅行结束时，里程表显示 $cba$ 英里。求 $a^2 + b^2 + c^2$？

(A) 26 26

(B) 27 27

(D) 37 37

(E) 41 41

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Let $m$ be the total mileage of the trip. Then $m$ must be a multiple of $55$. Also, because $m=cba-abc=99(c-a)$, it is a multiple of $9$. Therefore $m$ is a multiple of $495$. Because $m$ is at most a 3-digit number and $a$ is not equal to $0$, $m=495$. Therefore $c-a=5$. Because $a+b+c\le 7$, the only possible $abc$ is $106$, so $a^2+b^2+c^2=1+0+36=37$.

答案（D）：设 $m$ 为这次旅行的总里程，则 $m$ 必为 $55$ 的倍数。另外，因为 $m=cba-abc=99(c-a)$，所以它也是 $9$ 的倍数。因此 $m$ 是 $495$ 的倍数。由于 $m$ 至多是三位数且 $a\ne 0$，故 $m=495$。因此 $c-a=5$。又因为 $a+b+c\le 7$，唯一可能的 $abc$ 是 $106$，所以 $a^2+b^2+c^2=1+0+36=37$。

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