AMC12 2014 A

AMC12 2014 A · Q15

AMC12 2014 A · Q15. It mainly tests Arithmetic misc, Basic counting (rules of product/sum).

A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits $abcba$, where $a$ is non-zero. Let $S$ be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of $S$?

五位回文数是一个正整数，其各位数字分别为 $abcba$，其中 $a$ 非零。设 $S$ 为所有五位回文数之和。$S$ 的各位数字之和是多少？

(A) 9 9

(B) 18 18

(D) 36 36

(E) 45\qquad 45\qquad

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

For each digit $a=1,2,\ldots,9$ there are $10\cdot10$ (ways of choosing $b$ and $c$) palindromes. So the $a$s contribute $(1+2+\cdots+9)(100)(10^4+1)$ to the sum. For each digit $b=0,1,2,\ldots,9$ there are $9\cdot10$ (since $a \neq 0$) palindromes. So the $b$s contribute $(0+1+2+\cdots+9)(90)(10^3+10)$ to the sum. Similarly, for each $c=0,1,2,\ldots,9$ there are $9\cdot10$ palindromes, so the $c$ contributes $(0+1+2+\cdots+9)(90)(10^2)$ to the sum. It just so happens that \[(1+2+\cdots+9)(100)(10^4+1)+(1+2+\cdots+9)(90)(10^3+10)+(1+2+\cdots+9)(90)(10^2)=49500000\] so the sum of the digits of the sum is $\boxed{\textbf{(B)}\; 18}$.

对于每个数字 $a=1,2,\ldots,9$，有 $10\cdot10$（选择 $b$ 和 $c$ 的方式）个回文数。所以 $a$ 们贡献 $(1+2+\cdots+9)(100)(10^4+1)$ 到总和中。对于每个数字 $b=0,1,2,\ldots,9$，有 $9\cdot10$（因为 $a \neq 0$）个回文数。所以 $b$ 们贡献 $(0+1+2+\cdots+9)(90)(10^3+10)$ 到总和中。类似地，对于每个 $c=0,1,2,\ldots,9$，有 $9\cdot10$ 个回文数，所以 $c$ 贡献 $(0+1+2+\cdots+9)(90)(10^2)$ 到总和中。碰巧 \[(1+2+\cdots+9)(100)(10^4+1)+(1+2+\cdots+9)(90)(10^3+10)+(1+2+\cdots+9)(90)(10^2)=49500000\] 所以总和的各位数字之和是 $\boxed{\textbf{(B)}\; 18}$ 。

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