AMC12 2013 A

AMC12 2013 A · Q11

AMC12 2013 A · Q11. It mainly tests Triangles (properties), Area & perimeter.

Triangle $ABC$ is equilateral with $AB=1$. Points $E$ and $G$ are on $AC$ and points $D$ and $F$ are on $AB$ such that both $DE$ and $FG$ are parallel to $BC$. Furthermore, triangle $ADE$ and trapezoids $DFGE$ and $FBCG$ all have the same perimeter. What is $DE+FG$?

等边三角形 $ABC$ 满足 $AB=1$。点 $E$ 和 $G$ 在 $AC$ 上，点 $D$ 和 $F$ 在 $AB$ 上，并且 $DE$ 与 $FG$ 都平行于 $BC$。此外，三角形 $ADE$ 与梯形 $DFGE$、$FBCG$ 的周长都相同。求 $DE+FG$。

(A) 1 1

(B) \frac{3}{2} \frac{3}{2}

(D) \frac{13}{8} \frac{13}{8}

(E) \frac{5}{3} \frac{5}{3}

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Answer (C): Let $x=DE$ and $y=FG$. Then the perimeter of $ADE$ is $x+x+x=3x$, the perimeter of $DFGE$ is $x+(y-x)+y+(y-x)=3y-x$, and the perimeter of $FBCG$ is $y+(1-y)+1+(1-y)=3-y$. Because the perimeters are equal, it follows that $3x=3y-x=3-y$. Solving this system yields $x=\frac{9}{13}$ and $y=\frac{12}{13}$. Thus $DE+FG=x+y=\frac{21}{13}$.

答案（C）：设 $x=DE$，$y=FG$。则 $ADE$ 的周长为 $x+x+x=3x$，$DFGE$ 的周长为 $x+(y-x)+y+(y-x)=3y-x$，$FBCG$ 的周长为 $y+(1-y)+1+(1-y)=3-y$。因为这些周长相等，所以有 $3x=3y-x=3-y$。解该方程组得 $x=\frac{9}{13}$，$y=\frac{12}{13}$。因此 $DE+FG=x+y=\frac{21}{13}$。

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