AMC12 2013 A

AMC12 2013 A · Q10

AMC12 2013 A · Q10. It mainly tests Fractions, Primes & prime factorization.

Let $S$ be the set of positive integers $n$ for which $\frac{1}{n}$ has the repeating decimal representation $0.\overline{ab}=0.ababab\ldots$, with $a$ and $b$ different digits. What is the sum of the elements of $S$?

设$S$为满足如下条件的正整数$n$的集合：$\frac{1}{n}$的循环小数表示为$0.\overline{ab}=0.ababab\ldots$，其中$a$与$b$是不同的数字。求集合$S$中所有元素的和是多少？

(A) 11 11

(B) 44 44

(D) 143 143

(E) 155 155

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): If $n$ satisfies the equation $\frac{1}{n}=0.\overline{ab}$, then $\frac{100}{n}=ab.\overline{ab}$ and subtracting gives $\frac{99}{n}=ab$. The positive factors of $99$ are $1,3,9,11,33,$ and $99$. Only $n=11,33,$ and $99$ give a number $\frac{99}{n}$ consisting of two different digits, namely $09,03,$ and $01$, respectively. Thus the requested sum is $11+33+99=143$.

答案（D）：如果 $n$ 满足方程 $\frac{1}{n}=0.\overline{ab}$，则 $\frac{100}{n}=ab.\overline{ab}$，相减得到 $\frac{99}{n}=ab$。$99$ 的正因数为 $1,3,9,11,33,$ 和 $99$。只有 $n=11,33,$ 和 $99$ 使得 $\frac{99}{n}$ 是由两个不同数字组成的数，分别为 $09,03,$ 和 $01$。因此所求的和为 $11+33+99=143$。

Topics