AMC12 2012 A

AMC12 2012 A · Q16

AMC12 2012 A · Q16. It mainly tests Triangles (properties), Circle theorems.

Circle $C_1$ has its center $O$ lying on circle $C_2$. The two circles meet at $X$ and $Y$. Point $Z$ in the exterior of $C_1$ lies on circle $C_2$ and $XZ=13$, $OZ=11$, and $YZ=7$. What is the radius of circle $C_1$?

圆 $C_1$ 的圆心 $O$ 位于圆 $C_2$ 上。两圆相交于点 $X$ 和 $Y$。点 $Z$ 在 $C_1$ 的外部，且位于圆 $C_2$ 上，并且 $XZ=13$，$OZ=11$，$YZ=7$。圆 $C_1$ 的半径是多少？

(A) 5 5

(B) \sqrt{26} \sqrt{26}

(D) 2\sqrt{7} 2\sqrt{7}

(E) \sqrt{30} \sqrt{30}

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Let $r$ denote the radius of circle $C_1$. Note that quadrilateral $ZYOX$ is cyclic. By Ptolemy's Theorem, we have $11XY=13r+7r$ and $XY=20r/11$. Let $t$ be the measure of angle $YOX$. Since $YO=OX=r$, the law of cosines on triangle $YOX$ gives us $\cos t =-79/121$. Again since $ZYOX$ is cyclic, the measure of angle $YZX=180-t$. We apply the law of cosines to triangle $ZYX$ so that $XY^2=7^2+13^2-2(7)(13)\cos(180-t)$. Since $\cos(180-t)=-\cos t=79/121$ we obtain $XY^2=12000/121$. But $XY^2=400r^2/121$ so that $r=\boxed{(E)\sqrt{30}}$.

设 $r$ 表示圆 $C_1$ 的半径。注意四边形 $ZYOX$ 是圆内接四边形。由托勒密定理，有 $11XY=13r+7r$，因此 $XY=20r/11$。设 $t$ 为角 $YOX$ 的度数。由于 $YO=OX=r$，在三角形 $YOX$ 上应用余弦定理得到 $\cos t =-79/121$。又因为 $ZYOX$ 是圆内接四边形，所以角 $YZX=180-t$。对三角形 $ZYX$ 应用余弦定理，得 $XY^2=7^2+13^2-2(7)(13)\cos(180-t)$。由于 $\cos(180-t)=-\cos t=79/121$，得到 $XY^2=12000/121$。但 $XY^2=400r^2/121$，所以 $r=\boxed{(E)\sqrt{30}}$。

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