AMC12 2007 B

AMC12 2007 B · Q14

AMC12 2007 B · Q14. It mainly tests Triangles (properties), Area & perimeter.

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC$. Points $Q$, $R$, and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, and $\overline{CA}$, respectively. Given that $PQ=1$, $PR=2$, and $PS=3$, what is $AB$?

点 $P$ 在等边 $\triangle ABC$ 内部。从 $P$ 向 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 和 $\overline{CA}$ 作垂线，垂足分别为 $Q$、$R$ 和 $S$。已知 $PQ=1$、$PR=2$、$PS=3$，求 $AB$。

(A) 4 4

(B) $3\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$

(D) $4\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$

(E) 9 9

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Drawing $\overline{PA}$, $\overline{PB}$, and $\overline{PC}$, $\triangle ABC$ is split into three smaller triangles. The altitudes of these triangles are given in the problem as $PQ$, $PR$, and $PS$. Summing the areas of each of these triangles and equating it to the area of the entire triangle, we get: \[\frac{s}{2} + \frac{2s}{2} + \frac{3s}{2} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}\] where $s$ is the length of a side of the equilateral triangle \[s = \boxed{\mathrm{(D) \ } 4\sqrt{3}}\]

连接 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 和 $\overline{PC}$，则 $\triangle ABC$ 被分成三个更小的三角形。这些三角形的高分别为题目给出的 $PQ$、$PR$ 和 $PS$。将这三个小三角形的面积相加，并令其等于整个三角形的面积，得到： \[\frac{s}{2} + \frac{2s}{2} + \frac{3s}{2} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}\] 其中 $s$ 为等边三角形的边长。 \[s = \boxed{\mathrm{(D) \ } 4\sqrt{3}}\]

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