AMC12 2007 A

AMC12 2007 A · Q19

AMC12 2007 A · Q19. It mainly tests Area & perimeter, Coordinate geometry.

Triangles $ABC$ and $ADE$ have areas $2007$ and $7002,$ respectively, with $B = (0,0),$ $C = (223,0),$ $D = (680,380),$ and $E = (689,389).$ What is the sum of all possible x coordinates of $A$?

三角形 $ABC$ 和 $ADE$ 的面积分别为 $2007$ 和 $7002,$ 其中 $B = (0,0),$ $C = (223,0),$ $D = (680,380),$ 且 $E = (689,389).$ 求点 $A$ 所有可能的 $x$ 坐标之和。

(A) 282 282

(B) 300 300

(D) 900 900

(E) 1200 1200

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

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设 $h$ 为 $\triangle ABC$ 中 $A$ 到 $BC$ 的高。那么 $2007 = (1/2) \cdot BC \cdot h = (1/2) \cdot 223 \cdot h$，所以 $h = 18$。因此 $A$ 在直线 $y = 18$ 或 $y = -18$ 上。直线 $DE$ 的方程为 $x - y - 300 = 0$。设 $A$ 的坐标为 $(a, b)$。由点到直线的距离公式，$A$ 到 $DE$ 的距离为 $|a - b - 300| / \sqrt{2}$。$\triangle ADE$ 的面积为 $7002 = (1/2) \cdot |a - b - 300| / \sqrt{2} \cdot DE = (1/2) \cdot |a \pm 18 - 300| / \sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$。因此 $a = \pm18 \pm 1556 + 300$，四个可能 $a$ 值的和为 $4 \cdot 300 = 1200$。

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