AMC10 2022 A

AMC10 2022 A · Q13

AMC10 2022 A · Q13. It mainly tests Triangles (properties), Similarity.

Let $\triangle ABC$ be a scalene triangle. Point $P$ lies on $\overline{BC}$ so that $\overline{AP}$ bisects $\angle BAC.$ The line through $B$ perpendicular to $\overline{AP}$ intersects the line through $A$ parallel to $\overline{BC}$ at point $D.$ Suppose $BP=2$ and $PC=3.$ What is $AD?$

设 $\triangle ABC$ 是一个不等边三角形。点 $P$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $\overline{AP}$ 平分 $\angle BAC$。通过 $B$ 且垂直于 $\overline{AP}$ 的直线与通过 $A$ 且平行于 $\overline{BC}$ 的直线相交于点 $D$。已知 $BP=2$，$PC=3$。求 $AD$。

(A) 8 8

(B) 9 9

(D) 11 11

(E) 12 12

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Suppose that $\overline{BD}$ intersects $\overline{AP}$ and $\overline{AC}$ at $X$ and $Y,$ respectively. By Angle-Side-Angle, we conclude that $\triangle ABX\cong\triangle AYX.$ Let $AB=AY=2x.$ By the Angle Bisector Theorem, we have $AC=3x,$ or $YC=x.$ By alternate interior angles, we get $\angle YAD=\angle YCB$ and $\angle YDA=\angle YBC.$ Note that $\triangle ADY \sim \triangle CBY$ by the Angle-Angle Similarity, with the ratio of similitude $\frac{AY}{CY}=2.$ It follows that $AD=2CB=2(BP+PC)=\boxed{\textbf{(C) } 10}.$

设 $\overline{BD}$ 分别与 $\overline{AP}$ 和 $\overline{AC}$ 相交于 $X$ 和 $Y$。由角-边-角，可知 $\triangle ABX\cong\triangle AYX$。设 $AB=AY=2x$。由角平分定理，有 $AC=3x$，即 $YC=x$。由交替内角，得 $\angle YAD=\angle YCB$ 和 $\angle YDA=\angle YBC$。由角-角相似，可知 $\triangle ADY \sim \triangle CBY$，相似比为 $\frac{AY}{CY}=2$。因此 $AD=2CB=2(BP+PC)=\boxed{\textbf{(C) } 10}$。

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