AMC10 2020 B

AMC10 2020 B · Q21

AMC10 2020 B · Q21. It mainly tests Triangles (properties), Area & perimeter.

In square $ABCD$, points $E$ and $H$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{DA}$, respectively, so that $AE = AH$. Points $F$ and $G$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{CD}$, respectively, and points $I$ and $J$ lie on $\overline{EH}$ so that $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ and $\overline{GJ} \perp \overline{EH}$. See the figure below. Triangle $AEH$, quadrilateral $BFIE$, quadrilateral $DHJG$, and pentagon $FCGJI$ each has area $1$. What is $FI^2$?

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和 $H$ 分别位于 $\overline{AB}$ 和 $\overline{DA}$ 上，使得 $AE = AH$。点 $F$ 和 $G$ 分别位于 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，点 $I$ 和 $J$ 位于 $\overline{EH}$ 上，使得 $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ 和 $\overline{GJ} \perp \overline{EH}$。见下图。三角形 $AEH$、四边形 $BFIE$、四边形 $DHJG$ 和五边形 $FCGJI$ 的面积均为 $1$。求 $FI^2$。

(A) \dfrac{7}{3} \dfrac{7}{3}

(B) 8 - 4\sqrt{2} 8 - 4\sqrt{2}

(D) \dfrac{7}{4}\sqrt{2} \dfrac{7}{4}\sqrt{2}

(E) 2\sqrt{2} 2\sqrt{2}

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Square $ABCD$ has area $4$, so its side length is $AB=2$. Isosceles right triangle $HAE$ has area $1$, so leg length $AE=\sqrt{2}$, and thus $EB=2-\sqrt{2}$. Extend $\overline{EH}$ and $\overline{BC}$ to meet at $K$. Isosceles right triangle $KBE$ has area $\frac{1}{2}(2-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}$, so isosceles right triangle $FIK$ has area $4-2\sqrt{2}=\frac{1}{2}FI^2$. Hence $FI^2=8-4\sqrt{2}$.

正方形 $ABCD$ 的面积为 $4$，故其边长 $AB=2$。等腰直角三角形 $HAE$ 的面积为 $1$，故腿长 $AE=\sqrt{2}$，从而 $EB=2-\sqrt{2}$。延长 $\overline{EH}$ 和 $\overline{BC}$ 相交于点 $K$。等腰直角三角形 $KBE$ 的面积为 $\frac{1}{2}(2-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}$，故等腰直角三角形 $FIK$ 的面积为 $4-2\sqrt{2}=\frac{1}{2}FI^2$。因此 $FI^2=8-4\sqrt{2}$。

Topics