AMC10 2019 A

AMC10 2019 A · Q19

AMC10 2019 A · Q19. It mainly tests Quadratic equations, Inequalities (AM-GM etc. basic).

What is the least possible value of $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019$, where $x$ is a real number?

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019$ 的最小可能值为多少，其中 $x$ 为实数？

(A) 2017 2017

(B) 2018 2018

(D) 2020 2020

(E) 2021 2021

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): Observe that $$(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+2019$$ $$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+2019$$ $$=[(x^2+5x+5)-1][(x^2+5x+5)+1]+2019$$ $$=(x^2+5x+5)^2-1+2019$$ $$=(x^2+5x+5)^2+2018.$$ Because $(x^2+5x+5)^2\ge 0$ for all $x$ and equals $0$ for $x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$, it follows that the requested minimum value is $2018$.

答案（B）：注意到 $$(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+2019$$ $$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+2019$$ $$=[(x^2+5x+5)-1][(x^2+5x+5)+1]+2019$$ $$=(x^2+5x+5)^2-1+2019$$ $$=(x^2+5x+5)^2+2018.$$ 因为对所有$x$都有$(x^2+5x+5)^2\ge 0$，且当$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$时取到$0$，所以所求的最小值为$2018$。

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