AMC10 2005 A

AMC10 2005 A · Q10

AMC10 2005 A · Q10. It mainly tests Quadratic equations.

There are two values of $a$ for which the equation $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ has only one solution for $x$. What is the sum of those values of $a$?

方程 $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ 有唯一 x 解的 a 有两个值。这些 a 的值之和是多少？

(A) -16 -16

(B) -8 -8

(D) 8 8

(E) 20 20

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

(A) The quadratic formula yields $$x=\frac{-(a+8)\pm\sqrt{(a+8)^2-4\cdot4\cdot9}}{2\cdot4}.$$ The equation has only one solution precisely when the value of the discriminant, $$(a+8)^2-144,$$ is 0. This implies that $a=-20$ or $a=4$, and the sum is $-16$. OR The equation has one solution if and only if the polynomial is the square of a binomial with linear term $\pm\sqrt{4x^2}=\pm2x$ and constant term $\pm\sqrt{9}=\pm3$. Because $(2x\pm3)^2$ has a linear term $\pm12x$, it follows that $a+8=\pm12$. Thus $a$ is either $-20$ or $4$, and the sum of those values is $-16$.

（A）二次公式给出 $$x=\frac{-(a+8)\pm\sqrt{(a+8)^2-4\cdot4\cdot9}}{2\cdot4}.$$ 该方程恰有一个解，当且仅当判别式 $$(a+8)^2-144$$ 等于 0。这意味着 $a=-20$ 或 $a=4$，它们的和为 $-16$。或者该方程有且仅有一个解，当且仅当该多项式是一个二项式的平方，其中一次项为 $\pm\sqrt{4x^2}=\pm2x$，常数项为 $\pm\sqrt{9}=\pm3$。因为 $(2x\pm3)^2$ 的一次项为 $\pm12x$，所以 $a+8=\pm12$。因此 $a$ 为 $-20$ 或 $4$，这些值的和为 $-16$。

Topics

AL.005 Quadratic equations