AMC10 2018 B

AMC10 2018 B · Q11

AMC10 2018 B · Q11. It mainly tests Primes & prime factorization, Remainders & modular arithmetic.

Which of the following expressions is never a prime number when $p$ is a prime number?

当 $p$ 是质数时，下列哪个表达式永远不是质数？

(A) $p^2 + 16$ $p^2 + 16$

(B) $p^2 + 24$ $p^2 + 24$

(D) $p^2 + 46$ $p^2 + 46$

(E) $p^2 + 96$ $p^2 + 96$

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Answer (C): If $p=3$, then $p^2+26=35=5\cdot 7$. If $p$ is a prime number other than 3, then $p=3k\pm 1$ for some positive integer $k$. In that case $$ p^2+26=(3k\pm 1)^2+26=9k^2\pm 6k+27=3(3k^2\pm 2k+9) $$ is a multiple of 3 and is not prime. The smallest counterexamples for the other choices are $5^2+16=41$, $7^2+24=73$, $5^2+46=71$, and $19^2+96=457$.

答案（C）：如果$p=3$，则$p^2+26=35=5\cdot 7$。如果$p$是除3以外的素数，则对某个正整数$k$有$p=3k\pm 1$。在这种情况下 $$ p^2+26=(3k\pm 1)^2+26=9k^2\pm 6k+27=3(3k^2\pm 2k+9) $$ 是3的倍数，因此不是素数。其他选项的最小反例如下：$5^2+16=41$、$7^2+24=73$、$5^2+46=71$、以及$19^2+96=457$。

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