AMC10 2016 A

AMC10 2016 A · Q5

AMC10 2016 A · Q5. It mainly tests 3D geometry (volume), Perfect squares & cubes.

A rectangular box has integer side lengths in the ratio $1:3:4$. Which of the following could be the volume of the box?

一个长方体的三条棱长为整数，且它们的比为$1:3:4$。下列哪一个可能是该长方体的体积？

(A) 48 48

(B) 56 56

(D) 96 96

(E) 144 144

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Let the dimensions of the box be $x$, $3x$, and $4x$. Then the volume of the box is $12x^3$. Therefore the volume must be $12$ times the cube of an integer. Among the choices, only $48=4\cdot12$, $96=8\cdot12$, and $144=12\cdot12$ are multiples of $12$, and only for $96$ is the other factor a perfect cube.

答案（D）：设盒子的长、宽、高分别为 $x$、$3x$ 和 $4x$。则盒子的体积为 $12x^3$。因此体积必须是 $12$ 乘以某个整数的立方。在选项中，只有 $48=4\cdot12$、$96=8\cdot12$ 和 $144=12\cdot12$ 是 $12$ 的倍数，并且只有在 $96$ 的情况下，另一个因数是一个完全立方数。

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