AMC10 2016 A

AMC10 2016 A · Q19

AMC10 2016 A · Q19. It mainly tests Similarity, Ratios in geometry.

In rectangle $ABCD$, $AB=6$ and $BC=3$. Point $E$ between $B$ and $C$, and point $F$ between $E$ and $C$ are such that $BE=EF=FC$. Segments $AE$ and $AF$ intersect $BD$ at $P$ and $Q$, respectively. The ratio $BP:PQ:QD$ can be written as $r:s:t$, where the greatest common factor of $r$, $s$, and $t$ is $1$. What is $r+s+t$?

在矩形 $ABCD$ 中，$AB=6$，$BC=3$。点 $E$ 在线段 $BC$ 上，点 $F$ 在线段 $EC$ 上，且满足 $BE=EF=FC$。线段 $AE$ 与 $AF$ 分别与对角线 $BD$ 相交于 $P$ 和 $Q$。比值 $BP:PQ:QD$ 可写为 $r:s:t$，其中 $r,s,t$ 的最大公因数为 $1$。求 $r+s+t$。

(A) 7 7

(B) 9 9

(D) 15 15

(E) 20 20

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Answer (E): Triangles $APD$ and $EPB$ are similar and $BE:DA=1:3$, so $BP=\frac{1}{4}BD$. Triangles $AQD$ and $FQB$ are similar and $BF:DA=2:3$, so $BQ=\frac{2}{5}BD$ and $QD=\frac{3}{5}BD$. Then $PQ=BQ-BP=\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right)BD=\frac{3}{20}BD$. Thus $BP:PQ:QD=\frac{1}{4}:\frac{3}{20}:\frac{3}{5}=5:3:12$, and $r+s+t=5+3+12=20$. Note: The answer is independent of the dimensions of the original rectangle. Consider the figures below, showing the rectangle $ABCD$ with points $E$ and $F$ trisecting side $BC$. Let $G$ and $H$ trisect $AD$, and let $M$ and $N$ be the midpoints of $AB$ and $CD$. Then the segments $AE$, $GF$, and $HC$ are equally spaced, implying that $BP=PR=RS=SD$ and showing that $BP:PD:BD=1:3:4=5:15:20$. The segments $ME$, $AF$, $GC$, and $HN$ are also equally spaced, implying that $BT=TQ=QU=UV=VD$ and showing that $BQ:QD:BD=2:3:5=8:12:20$. It then follows that $BP:PQ:QD=5:(15-12):12=5:3:12$.

答案（E）：三角形 $APD$ 与 $EPB$ 相似，且 $BE:DA=1:3$，所以 $BP=\frac{1}{4}BD$。三角形 $AQD$ 与 $FQB$ 相似，且 $BF:DA=2:3$，所以 $BQ=\frac{2}{5}BD$，并且 $QD=\frac{3}{5}BD$。于是 $PQ=BQ-BP=\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right)BD=\frac{3}{20}BD$。因此 $BP:PQ:QD=\frac{1}{4}:\frac{3}{20}:\frac{3}{5}=5:3:12$，并且 $r+s+t=5+3+12=20$。注：答案与原矩形的尺寸无关。考虑下图：矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 与 $F$ 将边 $BC$ 三等分。设 $G$ 与 $H$ 将 $AD$ 三等分，且 $M$ 与 $N$ 分别为 $AB$ 与 $CD$ 的中点。则线段 $AE$、$GF$、$HC$ 等距，从而 $BP=PR=RS=SD$，并可得 $BP:PD:BD=1:3:4=5:15:20$。线段 $ME$、$AF$、$GC$、$HN$ 也等距，从而 $BT=TQ=QU=UV=VD$，并可得 $BQ:QD:BD=2:3:5=8:12:20$。因此 $BP:PQ:QD=5:(15-12):12=5:3:12$。

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