AMC10 2016 A

AMC10 2016 A · Q14

AMC10 2016 A · Q14. It mainly tests Basic counting (rules of product/sum), Diophantine equations (integer solutions).

How many ways are there to write $2016$ as the sum of twos and threes, ignoring order? (For example, $1008\cdot 2+0\cdot 3$ and $402\cdot 2+404\cdot 3$ are two such ways.)

有多少种方法可以把 $2016$ 写成若干个 $2$ 和若干个 $3$ 的和（不考虑顺序）？（例如，$1008\cdot 2+0\cdot 3$ 和 $402\cdot 2+404\cdot 3$ 就是两种这样的表示。）

(A) 236 236

(B) 336 336

(D) 403 403

(E) 672 672

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Answer (C): If the sum uses $n$ twos and $m$ threes, then $2n+3m=2016$. Therefore $n=\frac{2016-3m}{2}$. Both $m$ and $n$ will be nonnegative integers if and only if $m$ is an even integer from $0$ to $672$. Thus there are $\frac{672}{2}+1=337$ ways to form the sum.

答案（C）：如果这个和使用了 $n$ 个 2 和 $m$ 个 3，则有 $2n+3m=2016$。因此 $n=\frac{2016-3m}{2}$。当且仅当 $m$ 是从 $0$ 到 $672$ 的偶整数时，$m$ 和 $n$ 都是非负整数。因此共有 $\frac{672}{2}+1=337$ 种方式构成该和。

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