AMC10 2015 A

AMC10 2015 A · Q20

AMC10 2015 A · Q20. It mainly tests Arithmetic misc, Divisibility & factors.

A rectangle has area $A\text{ cm}^2$ and perimeter $P\text{ cm}$, where $A$ and $P$ are positive integers. Which of the following numbers cannot equal $A+P$?

一个长方形的面积为 $A\text{ cm}^2$，周长为 $P\text{ cm}$，其中 $A$ 和 $P$ 为正整数。下列哪些数不可能等于 $A+P$？

(A) 100 100

(B) 102 102

(D) 106 106

(E) 108 108

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): Let $x$ and $y$ be the lengths of the sides of the rectangle. Then $A+P=xy+2x+2y=(x+2)(y+2)-4$, so $A+P+4$ must be the product of two factors, each of which is greater than $2$. Because the only factorization of $102+4=106$ into two factors greater than $1$ is $2\cdot53$, $A+P$ cannot equal $102$. Because $100+4=104=4\cdot26$, $104+4=108=3\cdot36$, $106+4=110=5\cdot22$, and $108+4=112=4\cdot28$, the other choices equal $A+P$ for rectangles with dimensions $2\times24$, $1\times34$, $3\times20$, and $2\times26$, respectively.

答案 (B)：设 $x$ 和 $y$ 为矩形两边的长度。则 $A+P=xy+2x+2y=(x+2)(y+2)-4$，所以 $A+P+4$ 必须能表示为两个因子的乘积，且每个因子都大于 $2$。由于 $102+4=106$ 分解成两个大于 $1$ 的因子的唯一方式是 $2\cdot53$，因此 $A+P$ 不可能等于 $102$。因为 $100+4=104=4\cdot26$，$104+4=108=3\cdot36$，$106+4=110=5\cdot22$，以及 $108+4=112=4\cdot28$，其余选项分别对应边长为 $2\times24$、$1\times34$、$3\times20$ 和 $2\times26$ 的矩形的 $A+P$。

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