AMC10 2015 A

AMC10 2015 A · Q19

AMC10 2015 A · Q19. It mainly tests Triangles (properties), Area & perimeter.

The isosceles right triangle $ABC$ has right angle at $C$ and area $12.5$. The rays trisecting $\angle ACB$ intersect $AB$ at $D$ and $E$. What is the area of $\triangle CDE$?

等腰直角三角形 $ABC$ 在 $C$ 点为直角，面积为 $12.5$。将 $\angle ACB$ 三等分的射线与 $AB$ 分别交于 $D$ 和 $E$。求 $\triangle CDE$ 的面积。

(A) \frac{5\sqrt{2}}{3} \frac{5\sqrt{2}}{3}

(B) \frac{50\sqrt{3} - 75}{4} \frac{50\sqrt{3} - 75}{4}

(D) \frac{50 - 25\sqrt{3}}{2} \frac{50 - 25\sqrt{3}}{2}

(E) \frac{25}{6} \frac{25}{6}

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Because the area is 12.5, it follows that $AC=BC=5$. Label $D$ and $E$ so that $D$ is closer to $A$ than to $B$. Let $F$ be the foot of the perpendicular to $AC$ passing through $D$. Let $h=FD$. Then $AF=h$ because $\triangle ADF$ is an isosceles right triangle, and $CF=h\sqrt{3}$ because $\triangle CDF$ is a $30-60-90$ triangle. So $h+h\sqrt{3}=AC=5$ and $$ h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}. $$ Thus the area of $\triangle CDE$ is $$ \frac{25}{2}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{5\sqrt{3}-5}{2}=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. $$

答案（D）：因为面积是 12.5，所以可得 $AC=BC=5$。标记 $D$ 和 $E$，使得 $D$ 比 $B$ 更靠近 $A$。令 $F$ 为过 $D$ 且垂直于 $AC$ 的垂足。设 $h=FD$。则 $AF=h$，因为 $\triangle ADF$ 是等腰直角三角形；并且 $CF=h\sqrt{3}$，因为 $\triangle CDF$ 是 $30-60-90$ 三角形。所以 $h+h\sqrt{3}=AC=5$，且 $$ h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}. $$ 因此 $\triangle CDE$ 的面积为 $$ \frac{25}{2}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{5\sqrt{3}-5}{2}=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. $$

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