AMC10 2015 A

AMC10 2015 A · Q17

AMC10 2015 A · Q17. It mainly tests Triangles (properties), Coordinate geometry.

A line that passes through the origin intersects both the line $x=1$ and the line $y=1+\frac{\sqrt{3}}{3}x$. The three lines create an equilateral triangle. What is the perimeter of the triangle?

一条经过原点的直线与直线 $x=1$ 和直线 $y=1+\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 都相交。这三条直线围成一个等边三角形。求该三角形的周长。

(A) 2√6 2√6

(B) 2 + 2√3 2 + 2√3

(D) 3 + 2√3 3 + 2√3

(E) 6 + √3/3 6 + √3/3

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Label the vertices of the equilateral triangle $A$, $B$, and $C$ so that $A$ is on the line $x=1$ and $B$ is on both lines $x=1$ and $y=1+\frac{\sqrt{3}}{3}x$. Then $B=\left(1,1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Let $O$ be the origin and $D=(1,0)$. Because $\triangle ABC$ is equilateral, $\angle CAB=60^\circ$, and $\triangle OAD$ is a $30-60-90^\circ$ triangle. Because $OD=1$, $AD=\frac{\sqrt{3}}{3}$ and $AB=AD+DB=\frac{\sqrt{3}}{3}+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$. The perimeter of $\triangle ABC$ is $3\cdot AB=3+2\sqrt{3}$. Indeed, $\triangle ABC$ is equilateral with $C=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$.

答案（D）：给等边三角形的顶点标记为 $A$、$B$、$C$，使得 $A$ 在直线 $x=1$ 上，且 $B$ 同时在直线 $x=1$ 与 $y=1+\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 上。于是 $B=\left(1,1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。设 $O$ 为原点，$D=(1,0)$。因为 $\triangle ABC$ 是等边三角形，$\angle CAB=60^\circ$，且 $\triangle OAD$ 是一个 $30-60-90^\circ$ 三角形。由于 $OD=1$，$AD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，并且 $AB=AD+DB=\frac{\sqrt{3}}{3}+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。$\triangle ABC$ 的周长为 $3\cdot AB=3+2\sqrt{3}$。事实上，$\triangle ABC$ 为等边三角形且 $C=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。

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