AMC10 2014 B

AMC10 2014 B · Q15

AMC10 2014 B · Q15. It mainly tests Angle chasing, Triangles (properties).

In rectangle $ABCD$, $DC=2CB$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{ED}$ and $\overline{FD}$ trisect $\angle ADC$ as shown. What is the ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of rectangle $ABCD$?

在矩形 $ABCD$ 中，$DC=2CB$，点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{ED}$ 和 $\overline{FD}$ 如图所示将 $\angle ADC$ 三等分。求 $\triangle DEF$ 的面积与矩形 $ABCD$ 的面积之比。

(A) $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(B) $\frac{\sqrt{6}}{8}$ $\frac{\sqrt{6}}{8}$

(D) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

(E) $\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

15. Answer (A): Let $AD=\sqrt{3}$. Because $\angle ADE=30^\circ$, it follows that $AE=1$ and $DE=2$. Now $\angle EDF=30^\circ$ and $\angle DEF=120^\circ$, so $\triangle DEF$ is isosceles and $EF=2$. Thus the area of $\triangle DEF$ (with $EF$ viewed as the base) is $\frac12\cdot2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$, and the desired ratio is $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot2\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

15. 答案（A）：设 $AD=\sqrt{3}$。因为 $\angle ADE=30^\circ$，可得 $AE=1$ 且 $DE=2$。又有 $\angle EDF=30^\circ$ 且 $\angle DEF=120^\circ$，所以 $\triangle DEF$ 为等腰三角形，且 $EF=2$。因此 $\triangle DEF$ 的面积（以 $EF$ 为底）为 $\frac12\cdot2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$，所求比值为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot2\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

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