AMC10 2014 A

AMC10 2014 A · Q21

AMC10 2014 A · Q21. It mainly tests Linear equations, Divisibility & factors.

Positive integers $a$ and $b$ are such that the graphs of $y = ax + 5$ and $y = 3x + b$ intersect the $x$-axis at the same point. What is the sum of all possible $x$-coordinates of these points of intersection?

正整数 $a$ 和 $b$ 使得直线 $y = ax + 5$ 和 $y = 3x + b$ 与 $x$ 轴的交点相同。这些交点的所有可能 $x$ 坐标之和是多少？

(A) -20 -20

(B) -18 -18

(D) -12 -12

(E) -8 -8

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Answer (E): Setting $y=0$ in both equations and solving for $x$ gives $x=-\frac{5}{a}=-\frac{b}{3}$, so $ab=15$. Only four pairs of positive integers $(a,b)$ have product $15$, namely $(1,15)$, $(15,1)$, $(3,5)$, and $(5,3)$. Therefore the four possible points on the $x$-axis have coordinates $-5$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{5}{3}$, and $-1$, the sum of which is $-8$.

答案（E）：在两个方程中令 $y=0$，并解出 $x$，得到 $x=-\frac{5}{a}=-\frac{b}{3}$，因此 $ab=15$。乘积为 $15$ 的正整数对 $(a,b)$ 只有四组，分别是 $(1,15)$、$(15,1)$、$(3,5)$ 和 $(5,3)$。因此，$x$ 轴上四个可能的点的坐标为 $-5$、$-\frac{1}{3}$、$-\frac{5}{3}$ 和 $-1$，它们的和为 $-8$。

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