AMC10 2014 A

AMC10 2014 A · Q16

AMC10 2014 A · Q16. It mainly tests Triangles (properties), Coordinate geometry.

In rectangle $ABCD$, $AB = 1$, $BC = 2$, and points $E$, $F$, and $G$ are midpoints of $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, and $\overline{AD}$, respectively. Point $H$ is the midpoint of $\overline{GE}$. What is the area of the shaded region?

在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$BC = 2$，点 $E$、$F$ 和 $G$ 分别是 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 和 $\overline{AD}$ 的中点。点 $H$ 是 $\overline{GE}$ 的中点。阴影区域的面积是多少？

(A) $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{12}$

(B) $\frac{\sqrt{3}}{18}$ $\frac{\sqrt{3}}{18}$

(D) $\frac{\sqrt{3}}{12}$ $\frac{\sqrt{3}}{12}$

(E) $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Let $J$ be the intersection point of $BF$ and $HC$. Then $\triangle JHF$ is similar to $\triangle JCB$ with ratio 1 : 2. The length of the altitude of $\triangle JHF$ to $HF$ plus the length of the altitude of $\triangle JCB$ to $CB$ is $FC = \frac{1}{2}$. Thus $\triangle JHF$ has altitude $\frac{1}{6}$ and base 1, and its area is $\frac{1}{12}$. The shaded area is twice the area of $\triangle JHF$, or $\frac{1}{6}$.

设 $J$ 为 $BF$ 和 $HC$ 的交点。然后 $\triangle JHF$ 与 $\triangle JCB$ 相似，比率为 1 : 2。$\triangle JHF$ 到 $HF$ 的高加上 $\triangle JCB$ 到 $CB$ 的高之和等于 $FC = \frac{1}{2}$。因此 $\triangle JHF$ 的高为 $\frac{1}{6}$，底为 1，其面积为 $\frac{1}{12}$。阴影区域面积是 $\triangle JHF$ 面积的两倍，即 $\frac{1}{6}$。

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