AMC10 2012 B

AMC10 2012 B · Q14

AMC10 2012 B · Q14. It mainly tests Triangles (properties), Area & perimeter.

Two equilateral triangles are contained in a square whose side length is $2\sqrt{3}$. The bases of these triangles are the opposite sides of the square, and their intersection is a rhombus. What is the area of the rhombus?

一个边长为 $2\sqrt{3}$ 的正方形内包含两个等边三角形。这些三角形的底边分别是正方形的对边，它们的交集是一个菱形。求这个菱形的面积。

(A) $3/2$ $3/2$

(B) $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$

(D) $8\sqrt{3} - 12$ $8\sqrt{3} - 12$

(E) $4\sqrt{3}/3$ $4\sqrt{3}/3$

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Construct the altitude for one of the equilateral triangles to its base on the square. Label the vertices of one of the resulting $30-60-90^\circ$ triangles $A$, $B$, and $C$, as shown. Then $AB=\sqrt{3}$ and $BC=3$. Label one of the intersection points of the two equilateral triangles $D$ and the center of the square $E$. Then $\triangle CDE$ is a $30-60-90^\circ$ triangle, $CE=3-\sqrt{3}$, and $DE=\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$. The area of $\triangle CDE$ is $\frac{1}{2}\cdot(3-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-3$. Hence the area of the rhombus is $4\cdot(2\sqrt{3}-3)=8\sqrt{3}-12$.

答案（D）：作其中一个等边三角形的高，使其垂直于正方形上的底边。按图所示，将所得到的一个 $30-60-90^\circ$ 三角形的顶点标为 $A$、$B$、$C$。则 $AB=\sqrt{3}$，$BC=3$。将两个等边三角形的一个交点标为 $D$，正方形的中心标为 $E$。则 $\triangle CDE$ 是一个 $30-60-90^\circ$ 三角形，$CE=3-\sqrt{3}$，且 $DE=\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。$\triangle CDE$ 的面积为 $\frac{1}{2}\cdot(3-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-3$。因此菱形的面积为 $4\cdot(2\sqrt{3}-3)=8\sqrt{3}-12$。

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