AMC10 2011 B

AMC10 2011 B · Q9

AMC10 2011 B · Q9. It mainly tests Triangles (properties), Similarity.

The area of △EBD is one third of the area of 3 – 4 – 5 △ABC. Segment DE is perpendicular to segment AB. What is BD ?

△EBD 的面积是 3 – 4 – 5 △ABC 面积的三分之一。线段 DE 垂直于线段 AB。BD 是多少？

(A) $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$

(B) $\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$

(D) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(E) $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): The area of $\triangle ABC$ is $\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4=6$, so the area of $\triangle EBD$ is $\frac{1}{3}\cdot 6=2$. Note that $\triangle ABC$ and $\triangle EBD$ are right triangles with an angle in common, so they are similar. Therefore $BD$ and $DE$ are in the ratio $4$ to $3$. Let $BD=x$ and $DE=\frac{3}{4}x$. Then the area of $\triangle EBD$ can be expressed as $\frac{1}{2}\cdot x \cdot \frac{3}{4}x=\frac{3}{8}x^2$. Because $\triangle EBD$ has area $2$, solving yields $BD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

答案（D）：$\triangle ABC$ 的面积是 $\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4=6$，因此 $\triangle EBD$ 的面积是 $\frac{1}{3}\cdot 6=2$。注意 $\triangle ABC$ 和 $\triangle EBD$ 都是直角三角形，并且有一个公共角，所以它们相似。因此 $BD$ 和 $DE$ 的比为 $4:3$。设 $BD=x$，$DE=\frac{3}{4}x$。那么 $\triangle EBD$ 的面积可表示为 $\frac{1}{2}\cdot x \cdot \frac{3}{4}x=\frac{3}{8}x^2$。因为 $\triangle EBD$ 的面积为 $2$，解得 $BD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

Topics