AMC10 2010 B

AMC10 2010 B · Q19

AMC10 2010 B · Q19. It mainly tests Quadratic equations, Triangles (properties).

A circle with center $O$ has area $156\pi$. Triangle $ABC$ is equilateral, $BC$ is a chord on the circle, $OA=4\sqrt{3}$, and point $O$ is outside $\triangle ABC$. What is the side length of $\triangle ABC$?

圆心为 $O$ 的圆面积为 $156\pi$。等边三角形 $ABC$，$BC$ 为圆上弦，$OA=4\sqrt{3}$，且点 $O$ 在 $\triangle ABC$ 外。求 $\triangle ABC$ 的边长。

(A) $2\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$

(B) 6 6

(D) 12 12

(E) 18 18

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): The radius of circle $O$ is $\sqrt{156}>4\sqrt{3}=OA$, so $A$ is inside the circle. Let $s$ be the side length of $\triangle ABC$, let $D$ be the foot of the altitude from $A$, and let $OE$ be the radius through $A$. This radius is perpendicular to $BC$ and contains $D$, so $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{156-\frac14 s^2}$. If $A$ is on $DE$, then $\angle BAC>\angle BEC>90^\circ$, an impossibility. Therefore $A$ lies on $OD$, and $OA=OD-AD$, that is, $$ 4\sqrt{3}=\sqrt{156-\frac14 s^2}-\frac{\sqrt{3}}{2}s. $$ Rearranging terms and squaring both sides leads to the quadratic equation $s^2+12s-108=0$, and the positive solution is $s=6$.

答案（B）：圆 $O$ 的半径为 $\sqrt{156}>4\sqrt{3}=OA$，所以点 $A$ 在圆内。设 $s$ 为 $\triangle ABC$ 的边长，$D$ 为从 $A$ 作高的垂足，$OE$ 为过 $A$ 的半径。这条半径垂直于 $BC$ 且经过 $D$，因此 $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{156-\frac14 s^2}$。若 $A$ 在 $DE$ 上，则 $\angle BAC>\angle BEC>90^\circ$，矛盾。因此 $A$ 在 $OD$ 上，且 $OA=OD-AD$，即 $$ 4\sqrt{3}=\sqrt{156-\frac14 s^2}-\frac{\sqrt{3}}{2}s. $$ 整理并两边平方得到二次方程 $s^2+12s-108=0$，其正根为 $s=6$。

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